Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium - Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen: Aufgaben, Hinweise, Lösungen Und Lösungswege

• ISBN13: 9783662633670
• Binding: Paperback
• Subject: N/A
• Publisher: Springer Spektrum
• Publisher Imprint: Springer Spektrum
• Publication Date: January 8, 2022
• Pages: 243
• Original Price: EUR 30.83
• Language: German
• Edition: 2. Aufl. 2022
• Item Weight: 577 grams
• BISAC Subject(s): Mathematical Analysis

Vorwort.- 1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?- 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik.- 2.1 Junktoren und Quantoren.- 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 2.3 Abbildungen.- 2.4 Relationen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln.- 3.1 Gruppen.- 3.2 Homomorphismen.- 3.3 K�rper.- 3.4 Ringe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 4 Zahlbereiche - Basis nicht nur der Analysis.- 4.1 Reelle Zahlen.- 4.2 K�rperaxiome f�r die reellen Zahlen.- 4.3 Anordnungsaxiome f�r die reellen Zahlen.- 4.4 Ein Vollst�ndigkeitsaxiom f�r die reellen Zahlen.- 4.5 Nat�rliche Zahlen und vollst�ndige Induktion.- 4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.- 4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 5 Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra.- 5.1 Erste L�sungsversuche.- 5.2 Das L�sungsverfahren von Gau und Jordan.- 5.3 Das L�sungskriterium und die Struktur der L�sung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 6 Vektorr�ume - von Basen und Dimensionen.- 6.1 Der Vektorraumbegriff.- 6.2 Beispiele von Vektorr�umen.- 6.3 Untervektorr�ume.- 6.4 Basis und Dimension.- 6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorr�umen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen.- 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.- 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.- 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.- 7.4 Abst�nde zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.- 7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 8 Folgen - der Weg ins Unendliche.- 8.1 Der Begriff einer Folge.- 8.2 Konvergenz.- 8.3 H�ufungspunkte und Cauchy-Folgen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 9 Funktionen und Stetigkeit - ε trifft auf δ.- 9.1 Grundlegendes zu Funktionen.- 9.2 Beschr�nkte und monotone Funktionen.- 9.3 Grenzwerte f�r Funktionen und die Stetigkeit.- 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.- 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten.- 10.1 Motivation und Definition.- 10.2 Kriterien f�r Konvergenz.- 10.3 Absolute Konvergenz.- 10.4 Kriterien f�r absolute Konvergenz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 11 Potenzreihen - Allesk�nner unter den Funktionen.- 11.1 Definition und Grundlagen.- 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.- 11.3 Die Exponentialfunktion.- 11.4 Trigonometrische Funktionen.- 11.5 Der Logarithmus.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Br�cken zwischen Vektorr�umen.- 12.1 Definition und Beispiele.- 12.2 Verkn�pfungen von linearen Abbildungen.- 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.- 12.4 Darstellungsmatrizen.- 12.5 Das Produkt von Matrizen.- 12.6 Das Invertieren von Matrizen.- 12.7 Elementarmatrizen.- 12.8 Basistransformation.- 12.9 Der Dualraum.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 13 Determinanten - Kenngr� en von Matrizen.- 13.1 Die Definition der Determinante.- 13.2 Determinanten von Endomorphismen.- 13.3 Berechnung der Determinante.- 13.4 Anwendungen der Determinante.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 14 Normalformen - Diagonalisieren und Triangulieren.- 14.1 Diagonalisierbarkeit.- 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.- 14.5 Die Exponentialfunktion f�r Matrizen.- 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.- 14.7 Die Jordan-Normalform.- 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 15 Differenzialrechnung - die Linearisierung von Funktionen.- 15.1 Die Ableitung.- 15.2 Differenziationsregeln.- 15.3 Der Mittelwertsatz.- 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.- 15.5 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 16 Integrale - von lokal zu global.-

PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakultät für Mathematik der Universität Karlsruhe tätig.
Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, hält dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung.

Dr. Christian Karpfinger ist Professor an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist emeritierter Professor für Geometrie an der Technischen Universität Wien und kann auf eine mehr als 40-jährige Lehrtätigkeit verweisen.